Para empezar: una definición forma de valor absoluto o módulo.
El módulo o valor absoluto, notado como [latex] \left | a \right |[/latex], puede definirse como:
Algunas propiedades
PROP. 1:
[latex] \left | a \right |=\left | -a \right |[/latex]
PROP. 2:
[latex] \left | a\cdot b \right |=\left | a \right |\cdot \left | b \right |[/latex]
PROP. 3:
Si b es número real positivo, entonces la desigualdad:
[latex] \left | a \right |\leqslant b[/latex]
es equivalente a decir que:
[latex] -b\leqslant a\leqslant b [/latex]
Explicación:
Como sabemos, [latex] \left | a \right |[/latex] mide la distancia de [latex] a[/latex] al 0.
Que a sea menor o igual que b significa que la distancia de a al 0 no debe ser mayor que b. Sería lo mismo que decir que a no se puede pasar de b a la derecha ni de -b a la izquierda. Esto, claro está, es lo mismo que decir [latex] -b\leqslant a\leqslant b[/latex].
PROP. 4:
[latex] \left | a \right |=\sqrt{a^2}[/latex]
PROP. 5:
[latex] \left | a+b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |[/latex]
Demostración:
Supongamos que en vez de ser lo que afirmamos ([latex] \left | a+b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |[/latex]), esto no se cumple y sucede que: [latex] \left | a+b \right | [/latex] > [latex] \left | a \right |+\left | b \right |[/latex]. Como ambos miembros son mayores que cero, es decir, son positivos, podemos elevar al cuadrado a cada miembro de la desigualdad, pues la misma se mantiene:
[latex] \left | a+b \right |^2 [/latex] > [latex] (\left | a \right |+\left | b \right |)^2[/latex]
O sea:
[latex] \left | a+b \right |^2 [/latex] > [latex] \left | a \right |^{2}+2\left | a \right |\left | b \right |+\left | b \right |^{2}[/latex]
Como sabemos, por propiedad 2, que: [latex] \left | a\cdot b \right |=\left | a \right |\cdot \left | b \right |[/latex], entonces:
[latex] \left | a+b \right |^2 [/latex] > [latex] \left | a \right |^{2}+2\left | a\cdot b \right |+\left | b \right |^{2}[/latex]
Utilizando la propiedad 4, que nos decía que: [latex] \left | a \right |=\sqrt{a^2}[/latex], podemos reescribir lo anterior como:
[latex] (\sqrt{(a+b)^{2}})^{2} [/latex] > [latex] (\sqrt{a^{2}})^{2}+2\left | ab \right |+b^{2}[/latex]
de donde:
[latex] (a+b)^{2}[/latex] > [latex] a^{2} + 2\left | a b \right | + b^{2}[/latex]
O sea:
[latex] a^{2}+2ab+b^{2}[/latex] > [latex] a^{2} + 2\left | a b \right | + b^{2}[/latex]
Simplificando [latex] a^{2}[/latex], [latex]b^{2}[/latex] y, luego, simplificando el 2, tenemos que:
[latex] ab[/latex] > [latex] \left | a b \right |[/latex]
lo cual contradice la propiedad 2, según la cual [latex] \left | a\cdot b \right |=\left | a \right | \left | b \right |[/latex].
Q.E.D.
Valor absoluto y las propiedades de la desigualdad – Ensamble de Ideas – Copyright MMXXII